Das Wort "fürsorgen" ist etwas älter und wenig gebräuchlich. Es bedeutet einfach "Fürsorge tragen". "sorgen für" ist eine transitive Form davon.
"Ich sorge für meine Mutter"
"Städte sollten mehr fürsorgen." - "Die Fürsorge der Städte muss zunehmen."
Der Begriff "umsorgen" wird häufig als moderneres Synonym dazu gebraucht, hat jedoch mehr die Konnotation einer durch Zuneigung geprägten, umfassend pflegenden und hegenden Sorge ("Mutter"), während das intransitive "fürsorgen" die allgemeine Sorge oder Verpflichtung dazu bzw. "sorgen für" die etwas abstraktere, gerichtete Aufgabe und Tätigkeit beschreibt.
Als Nomen gibt es nur "die Fürsorge", nicht jedoch die "die Umsorge".
--gandalf.
PS: Besorgt Euch doch mal ein etymologisches Wörterbuch ;-)