Man braucht dafür nicht zwingend FREETZ, aber irgendeine Modifizierung der Box wirst du dafür schon mal benötigen. Ohne kommst du heutzutage nicht mehr mit einer aktuellen Firmware auf die Box, um da irgendwelchen nativen Linux-Befehle in Shell auszuführen (und dazu gehört z.B. mv). Eine Modifikation auf die Box mit aktueller Firmware zu bekommen ist auch heutzutage nicht besonders leicht und nicht gerade anfängerfreundlich. Ja, es gibt hier und anderswo im Netz verstreut Anleitungen zum Modifizieren der Box und zum Bauen eines FREETZ-Images, die Betonung liegt aber auf VERSTREUT. Wenn du mit der Hoffnung hier unterwegs bist, in 5 Minuten alles zu verstehen und hinzu noch ohne Linux-Kenntnisse: Vergiss es. Du wirst mehrere Tage und mehrere Anlaufversuche dafür brauchen. Wenn du dafür bereit bist und es gerne angehen willst, können wir dich dabei begleiten, setzt aber voraus, dass du selbst viel autodidaktisch lernst und nicht nach jedem "mv" hier fragst.
Mit dem, dass das Speichern auf einem USB-Stick schneller läuft, als auf einer Festplatte eines NAS, glaube ich dir erstmal nicht. Aber wie ich schon vorher schrieb: Um die Schwächen von deinem System zu identifizieren, muss man es erstmal komplett kennen. Und diese Disussion würde hier zu weit führen. Die Verwendung einer FritzBox für solche Zwecke mag ich persönlich heutzutage auch sehr stark zu bezweifeln. Immerhin ist eine FritzBox primär eine kleine Telefonanlage und ein Router nebenbei. Mit den Aufgaben ist sie schon sehr gut beschäftigt und sie noch mit anderen Zusatzaufgaben zu "beladen" muss echt gut bedacht sein. Aber dann wären wir wieder bei der Diskussion zum Gesamtsystem und das wäre hier OffTopic. Es gibt heutzutage viele Systeme, die deine Aufgaben gut meistern könnten, ohne dafür deine FritzBox zu "überladen". Ich nenne dir nur ein Paar Beispiele: RaspberryPi, QNAP-119-NAS bestückt mit einer 1TB-SSD, Odroid-Systeme (auch mit einer SSD), und, und, und. Bei den Systemen arbeitest du zum Teil mit Debian-Derivaten, was wartungstechnisch und pakettechnisch deutlich besser supported und gewartet wird. Mehr sage ich aber zum Thema "Gesamtsystem" nicht.